étudier la monotonie d'une suite

Pour tout , donc la suite est décroissante. \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{2^{-\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}{\dfrac{2^{-n}}{n\left(n+1\right)}}=\dfrac{2^{-\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\times{\dfrac{n\left(n+1\right)}{2^{-n}}}, \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{-1}\times n}{\left(n+2\right)}. 4. endobj Soit \left( u_n \right) la suite définie par son premier terme u_0=0 et pour tout entier naturel n par : On étudie les premiers termes de la suite pour conjecturer la monotonie éventuelle de la suite. suite arithmétique ou géométrique ? Etudier, sur , le sens de variation de la fonction telle que . <> Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2 3. u n+1 < u n). Déterminer le sens de variation des suites suivantes en étudiant le signe de la différence . calculer la somme de termes consécutifs d'une suite Pour visualiser cette leçon, cliquez sur le lien suivant. Pour tout N , (multiplication par le conjugué). 1. Exo 7 Donnez les intervalles de stricte monotonie maximaux d’une fonction f dont voici le TV : x −∞ −7 3 4 +∞ 4 6 f(x) % & % & 2 0 −∞ Cette fonction a une inﬁnit´e d’intervalles de stricte monotonie, Pour étudier la monotonie d'une suite, il faut: 1ère méthode: - Etudier le signe de la différence u(n+1) - u(n) Si u(n) u(n+1) alors la suite est croissante. On suppose que 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}. endobj Etude d une suite ( Zeta de Riemann) Commentaires récents. C’est le cas pour les suites arithmético-géométriques qui peuvent modéliser l’évolution d’une population. Il existe quatre façons de montrer qu'une suite est monotone, c'est-à-dire croissante ou décroissante (). *** Les suites numériques *** le 31 décembre 2020 Leçon donnée sur le site de lumni.fr (45 minutes) qui permet de revoir les suites : qu'est-ce qu'une suite numérique ? Méthode: Chercher le signe de . Donc, pour tout entier naturel n, on a 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}. Etudier la monotonie d’une suite numérique Méthode 1 : Comparer u n +1 − u n à 0. 2) Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite Selon l’expression de la suite : Q á ; : • Méthode 1 : On calculera l’expression Q á > 5 Pour tout , . x��\Y��~7��P�R��N��i ^f��1p�yP��R[K�{_�/rY��,e��n�q;��ú��v�zX��ׯ��/�~]�7��o6��o��j�د6뛛�ͻ�͛/_\��[��/_��?�ƶF4��/X� ?~z��v�a9��휋��J͚_��ߚ��{@�"� Pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n}\gt0. Skillz' 9 décembre 2013 à 21:21:10. <>>> Il t'accompagne tout au long de ton parcours scolaire, pour t'aider à progresser, te motiver et répondre à tes questions. On compare, pour tout entier naturel n, le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 1. Question 4 - Suite dépendant d'une autre suite. Etudier la monotonie d'une suite par le calculExercice On considère la suite \left (u_n\right) définie par : \begin {cases} u_0=4 \cr \cr \forall n \in \mathbb {N}, u_ {n+1}=\dfrac {2u_n-1} {u_n} \end {cases} On admet que \left (u_n\right) est une suite à termes positifs. . On détermine le signe de la différence u_{n+1}-u_{n}. stream On a vu que pour étudier le sens de variation d'une suite, il nous faut simplement calculer la différence entre le terme "n+1" et son prédecesseur "n". Variations d'une suite à l'aide de deux méthodes différentes Démontrer en utilisant deux méthodes différentes que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= n^2 - 10n$ est monotone à partir d'un certain rang (que l'on précisera). Etudier la variation (ou la monotonie ) de chacune des suites géométriques suivantes. strictement croissante) lorsque, pour tout entier n, on a u n+1 ≥ u n (resp. 2 0 obj On peut donc conclure que la suite est croissante. Comparer le quotient et le réel 1 pour une suite à termes strictement positifs. Comme 0\leqslant 2, on peut conjecturer que la suite est croissante. 3 0 obj SOS MATH 1ère S – ÉTUDES DE FONCTIONS - Fiche 3 Savoir DÉMONTRER LA MONOTONIE D'UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE 1ère fméthode: fDémontrer que, si a b, alors (a) f b) pour une croissance (ou (a) f b) pour une décroissance). Bonsoir, Je dois étudier la monotonie de plusieurs suites: Un= 1 - 2n Vn= 10^-n Sn= (-2)^n Tn=(ln 2)^n Simplement je n'ai jamais vu comment faire, j'ai trouvé une démarche sur le net où il faut calculer Un+1-Un, si le résultat est inférieur à 0 alors la fonction est strictement décroissante, je teste donc avec ma première expression: 'Etudier la variation' d'une suite signifie prouver qu'elle est croissante, décroissante, toujours ou à partir d'un certain rang, ou bien qu'elle n'est ni l'un ni l'autre. (u n + 1 n , n ı * ; d. U n I Définition. Hérédité : Soit n un entier naturel. . Pour les suites à termes positifs on peut également démontrer que le rapport u n+1 /u n est 1. Défi : Etudier la monotonie d'une suite . strict décroissante) lorsque, pour tout entier n, on a u n+1 ≤ u n (resp. Si u(n+1) / u(n) < 1 on a : la suite est décroissante Si u(n+1) / u(n) > 1 on a: la suite est croissante. On cherche à déterminer la monotonie d'une suite définie par récurrence ou explicitement en fonction de n. Soit \left( u_n \right) la suite définie par son premier terme u_0=0 et, pour tout entier naturel n, par : On calcule et simplifie la différence u_{n+1}-u_{n} de manière à pouvoir déterminer son signe. On étudie les variations de la fonction f sur \left[ n_0;+\infty \right[ où n_0 est le rang du premier terme de la suite. Des conseils a)Quand la suite est donnée par récurrence : penser à vérifier qu’elle est bien définie. Entraîne-toi avec des exercices sur le sujet suivant : Etudier les variations d'une suite, et réussis ton prochain contrôle de mathématiques en Terminale S (2019-2020) Comme la fonction racine carré est strictement croissante sur [0;+\infty[, on obtient, 2\leqslant \sqrt{4+u_n}\leqslant \sqrt{4+u_{n+1}}. étudier la monotonie d'une suite. Rappeler ce que signifie: " étudier la monotonie d’une suite " . Pour tout entier naturel n non nul, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\leqslant 1. Pour simplifier, nous voyons que retirer 1 à chaque terme ne change pas une monotonie. 2) Que peut on conjecturer sur la monotonie de la suite (Un) : Décroissante. 3) Étudier : lim n→+∞ xn. 2. Révisez en Terminale : Méthode Etudier la monotonie d'une suite avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale Donc f est décroissante sur \mathbb{R}^+. Dans cette exercice, nous allons vous présenter une méthode rapide pour traiter les variations d'une suite géométrique. Nos conseillers pédagogiques sont là pour t'aider et répondre à tes questions par e-mail ou au téléphone, du lundi au vendredi de 9h à 18h30. 4 0 obj Etudier les variations de f sur [0;+] J'obtiens f' (x) = 3/ (x+1)² Donc f croissante. Il y a plusieurs manières d'étudier les variations d'une suite : on peut étudier le signe de u n+1 u n; si u n = f(n) avec f fonction réelle, on peut étudier la monotonie de f sur R+; si tous les termes sont de signe constant , on peut comparer u n+1 u n et 1. Comme la suite est à termes strictement positifs, en multipliant l'inégalité précédente par u_n, pour tout entier naturel n non nul, on obtient : Si la suite est définie de manière explicite par u_{n}=f\left(n\right), on peut étudier les variations de la fonction f. Soit \left( u_n \right) la suite définie par, pour tout entier naturel n : En remplaçant l'entier n par un réel x, on obtient la fonction f à étudier. Que peut-on en déduire sur la limite de la suite (un ) ? Retrouve Alfa dans l'app, sur le site, dans ta boîte mails ou sur les Réseaux Sociaux. Ainsi on peut se contenter d'étudier la suite de terme général $\sqrt{v_n}$. Exercice 2 Sens de variations d’une suite 10 MÉTHODE 1 p. 135 Étudier la monotonie de la suite u, pour tout entier na-turel n, en déterminant le signe de un+1 −un. Sous-méthode 1: on étudie le signe de f(a) – b) si f ne peut s'écrire avec les fonctions de référence. %PDF-1.5 b) Il vaut mieux étudier la monotonie d’une suite en étudiant le signe de . Conjecturer à l'aide des premiers termes du sens de variation de la suite puis justifier cette … On montre par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}. On considère la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n non nul par : On vérifie tout d'abord, éventuellement par récurrence si la suite est définie comme telle, que tous les termes de la suite sont strictement positifs. ?��ӻ�EZ Ah��"'ukUc;ݺ#�/��O�vJk��+O�w��IC?.V��P̪��ON��Bݰls�Z&�m>��~��Q�5�x?�%A�:ܯ��q�d��0#k��߬WXp�܏�Fe�Zv�e6�k�ޘ��Jv��:��{�lv��nj.� 1) u0 =−4 un+1 =un −3 3) u0 =−2 un+1 =un − 1 n2 2) un =4n 11 Étudier la monotonie de la suite u, pour tout en-tier … x"B�}ͤU7i�l��I�t;K�=��Z��w_�n�l��?��a1�2��p?WX�f�¸��n��ڸ�s�w�~�F|=7��ny�߯��/��-p��\��p��v��hY �Z�|5UV�KF��_��3�X��nm�]儸V�F�V�\��o��! 1 2 >> Sujet résolu. 1 0 obj - Si une suite est strictement croissante ou si elle est strictement décroissante, elle est dite strictement monotone. f est décroissante sur \mathbb{R}^+ donc la suite est décroissante. Le tableau de variation d’une fonction met en ´evidence ses intervalles de stricte monotonie maximaux. Dans quels cas utiliser une méthode ou une autre. Est sur la convergence éventuelle de la suite (Un) : Converge vers 2. Besoin de plus de renseignements sur l'abonnement ou les contenus ? On montre alors que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}. <> 2- Monotonie d’une suite Exemples : 1. à respecter l’ordre des quantifica- teurs ; … - Etudier le sens de variation d'une suite, c'est étudier sa monotonie éventuelle. 2.1. 2. a. Étudions la monotonie de la suite ( U n), avec U n = 1 + 1 3 n ( n ): Cela revient à déterminer le sens de variation de la suite ( U n ) . Cette méthode ne fonctionne que pour les suites géométriques! Après avoir calculé les premiers termes de la suite (un ), conjecturer une expression de un en fonction de n, puis démontrer cette conjecture. Etude de la monotonie d'une suite. e��$��4RH��j�l�/_k�Vk]k�پ+zL��ӂ1�O�-T�� ̤4�V0*�pӺ�>ʨ�f��&��s�}��~X��~�Ua��R�U�nqc��1z�w1c�J &��BO�,�s�]�Ec��9��Ns�ʵ�q��m�`�A� �)�2�K��_8l�ʖXO��~�� m�]\��C�-6��D%�73��F�e��q �0ѓ�"��@�� %]�RX)�r` ��l�M�y;�8+�ƦKH��E�f�q]D��!��ɉ�. ˆ b 0 = 1 b n+1 = b n 3 b n+1 > b n Donc la suite (b n) est stric- tement d ecroissante a par- Si vous voulez absolument raisonner avec le quotient, vous devez commen- cer par dire que pour tout et démontrer que … pour tout pour prouver que est croissante … pour tout pour prouver que est décroissante c) Pour traduire que la suite réelle est majorée : on écrit qu’il existe tel que pour tout . Etudier la monotonie de la suite (un ). Première partie : 1) Soit f la fonction définie sur |0;+ [ par f (x) : 4x-2/x+1. Ainsi " étudier la monotonie d’une suite " revient à savoir si: la suite est (strictement) croissante ou (strictement ) décroissante. Exercice 1 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = n − 2 n pour tout n. Méthode 2 : Lorsque u n +1 = f (n ) pour tout n, f étant une fonction monotone dans un intervalle du type [n 0 , + ∞ [, (u n ) a le même sens de variation que f . 1 Or, pour tout réel x positif, −2x\leqslant 0. ˆ a 0 = 1 a n+1 = a n + 2 a n+1 > a n Donc la suite (a n) est stric- tement croissante a partir du rang 0. 2. Initialisation : Pour n=0, on a bien 0\leqslant u_0\leqslant u_1. Tout d'abord, rappelons que l'objectif est l'étude de la monotonie de $u$ et rien d'autre. Etudier la monotonie d’une suite numérique Etudier le comportement asymptotique d’une suite Exprimer en fonction de n le terme de rang n d’une suite arithmétique <>/XObject<>/ExtGState<>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 595.32 841.92] /Contents 4 0 R/Group<>/Tabs/S/StructParents 0>> endobj (u n) est décroissante (resp. Si u(n) u(n+1) alors la suite est décroissante. On cherche à déterminer la monotonie d'une suite définie par récurrence ou explicitement en fonction de n. Attention, cette méthode n'est valable que si la suite est à termes strictement positifs. Conclusion : La proposition est initialisée et héréditaire. Dans le cas d'une suite à termes strictement positifs, en comparant, Montrer que les termes de la suite sont strictement positifs, En utilisant une démonstration par récurrence, Exercice : Connaître les caractéristiques des limites infinies de suites, Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de suites, Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite convergente, Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite divergente, Exercice : Conjecturer graphiquement si une suite est convergente ou divergente, Exercice : Conjecturer graphiquement la limite d'une suite convergente, Exercice : Compléter le tableau de convergence d'une somme de suites convergentes, Exercice : Déterminer la limite d'une somme de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un produit de suites convergentes, Exercice : Déterminer la limite d'un produit de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un quotient de suites convergentes, Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Déterminer la limite d'une opération de suites convergentes dont on connaît la limite, Exercice : Connaître le théorème des gendarmes, Exercice : Déterminer la limite d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes, Exercice : Déterminer la convergence d'une suite géométrique, Exercice : Déterminer la convergence d'une combinaison linéaire de suites géométriques, Exercice : Connaître les étapes du raisonnement par récurrence, Exercice : Démontrer qu'une suite est majorée par récurrence, Exercice : Démontrer qu'une suite est minorée par récurrence, Exercice : Démontrer qu'une suite est bornée par récurrence, Exercice : Démontrer une égalité par récurrence, Exercice : Démontrer une inégalité par récurrence, Exercice : Démontrer que toute suite croissante non majorée tend vers +infini, Exercice : Démontrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli, Exercice : Démontrer la limite d'une suite géométrique, Exercice : Démontrer la divergence vers +infini d’une suite minorée par une suite divergeant vers +infini, Exercice : Démontrer la limite en +infini et en –infini de la fonction exponentielle, Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème de comparaison et du raisonnement par récurrence, Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes et du raisonnement par récurrence, Problème : Etudier la convergence d'une suite à l'aide du théorème de convergence monotone et du raisonnement par récurrence, Problème : Étudier un phénomène d’évolution modélisable par une suite, Problème : Rechercher un seuil d'une suite à l'aide d'un algorithme, Problème : Rechercher une valeur approchée d'un nombre mathématique particulier à l'aide d'un algorithme, Méthode : Démontrer une propriété par récurrence, Méthode : Etudier la convergence d'une suite, Méthode : Montrer qu'une suite est arithmétique, Méthode : Montrer qu'une suite est géométrique, Méthode : Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire, Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout, Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout, Si la différence change de signe en fonction de la valeur de, Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout, Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout, Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de, Si la suite semble croissante, on montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel, Si la suite semble décroissante, on montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel, Si on a montré que, pour tout entier naturel. Généralement, on étudie les variations de (cela serait maladroit d'étudier une fonction uniquement avec des nombres entiers). 2. Si la suite est définie explicitement, c'est-à-dire : , alors il faut étudier les variations de la fonction. Si la suite est définie par récurrence et que les autres méthodes n'aboutissent pas, on peut utiliser une démonstration par récurrence pour prouver la monotonie de la suite. 2nde méthode: - Comparer [ u(n+1) / u(n)] avec 1. u n+1 > u n). On a donc, pour tout entier naturel n non nul : Pour tout entier naturel n, on calcule le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} et on le simplifie de manière à pouvoir facilement le comparer à 1. 2. 1. Nous allons pouvoir aborder les notions de limite et de convergence, ou alors mettre en pratique ce que nous venons de voir avec les suites arithmétiques et les suites géométriques. 2) Étudier la monotonie de la suite (xn)n∈N. Soient a et b deux réels et (u n) une suite telle que pour tout entier naturel n : u n + 1 = a u n + b On a, pour tout entier naturel n non nul : Donc, pour tout entier naturel n non nul : 0\leqslant 2^{-1}\times\dfrac{n}{n+2} \leqslant 1. On utilise parfois une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour étudier des suites quelconques. Un cas particulier de la règle de D'alembert. Savoir-Faire : Etudier la monotonie d’une suite Définitions: (u n) est croissante (resp. %�� Étudier la monotonie des suites ( U n ) définies par: a. U n = 1 + 1 3 n, n ı ; b. U n = 2 n - n, n ı ; c. U n = 1 + 1 2 + 1 3 + .
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